Сколько чисел можно составить из цифр

Сколько уникальных чисел P_n можно составить из n цифр?

Для того чтобы ответить на данный вопрос, воспользуемся числом перестановок из комбинаторики.

Формула

Пример

К примеру, определим, сколько чисел можно составить из 5 цифр.

P₅ = 5! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5 = 120

Ответ: Из пяти цифр можно составить 120 разных чисел.

Если одна из цифр ноль

Если одна из цифр 0, то вышеописанная формула не подходит. Так как первой цифрой в числе ноль быть не может. Следовательно, такие варианты перестановок нужно исключить.

Формула для варианта с нулём

Пример

К примеру, определим, сколько чисел можно составить из цифр: 0,1,2,3,4.

У нас 5 цифр, одна из которых 0.

P_5-0 = (5-1)⋅(5-1)! = 4⋅4! = 4⋅4⋅3⋅2⋅1 = 96

Сколько уникальных k-значных чисел можно составить из n цифр?

Если цифры в числе могут повторяться

Если цифры в числе могут повторяться, то для ответа на наш вопрос можно воспользоваться числом размещений с повторениями.

Формула

Пример

К примеру, определим, сколько 2-х значных чисел можно составить из 5 цифр, при том, что цифры в числе могут повторяться.

Из пяти цифр можно составить 25 двухзначных чисел.

Если цифры в числе могут повторяться и одна из цифр ноль

Если среди ряда цифр есть ноль, то формула будет такая:

Формула

Пример

К примеру, определим, сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр: 0,1,2,3,4 (цифры в числе могут повторяться).

Из пяти цифр, одна из которых ноль, можно составить 100 трёхзначных чисел. Цифры при этом могут повторяться.

Если цифры в числе не могут повторяться

Если цифры в числе НЕ могут повторяться, то для ответа на наш вопрос можно воспользоваться количеством размещений без повторений.

Формула

Пример

К примеру, определим, сколько 2-х значных чисел можно составить из 5 цифр, при том, что цифры в числе НЕ могут повторяться.

Из пяти цифр можно составить 20 двухзначных чисел без повторений.

Если цифры в числе не могут повторяться и одна из цифр ноль

Если среди ряда цифр есть ноль, то формула будет такая:

Формула

Пример

К примеру, определим, сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр: 0,1,2,3,4 (цифры в числе НЕ могут повторяться).

Из пяти цифр, одна из которых ноль, можно составить 48 трёхзначных чисел, если цифры при этом не могут повторяться.

Задача №1

Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 1 2 3 5 7 9 без повторения цифр?

Для решения этой задачи нужно понимать, что нам важно знать количество цифр, а не какие они. То есть в данном случае цифр 6.

Значит, нам надо определить, сколько шестизначных чисел можно составить из 6 цифр.

Ответ: Из цифр 1 2 3 5 7 9 можно составить 720 шестизначных чисел без повторения цифр.

Данный пример можно решить и с помощью формулы числа перестановок, так как и количество цифр в числах, и заданное количество цифр совпадают и равно 6-ти:

P₆ = 6! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6 = 720

Задача №2

Сколько различных чисел можно составить из цифр 5, 4, 7 и 0, если цифры в записи числа не повторяются?

Мы имеем 4 различные цифры и одна из них ноль. Число не может начинаться на ноль, значит, воспользуемся числом перестановок и формулой для варианта с нулём:

P_4-0 = (4-1)⋅(4-1)! = 3⋅3! = 3⋅3⋅2⋅1 = 18

Ответ: Из цифр 5 4 7 0 можно составить 18 чисел без повторения цифр.

Другой вариант решения:

Нам даны 4 цифры, и в каждом из чисел мы должны использовать каждую из них.

Ноль не может быть первой цифрой в числе. Следовательно, для первой цифры числа мы можем использовать только 5, 4 или 7 - всего три варианта.

Для второй цифры в числе у нас есть тоже 3 варианта, так как одну цифру из четырёх мы уже использовали.

Для третьей осталось два варианта, а для четвёртой только один.

Запишем это так: 3⋅3⋅2⋅1 = 18

Мы получили тот же ответ: 18 вариантов.