Сколько чисел можно составить из цифр

  1. Главная
  2. /
  3. Математика
  4. /
  5. Комбинаторика
  6. /
  7. Сколько чисел можно составить из цифр
Чтобы посчитать, сколько чисел можно составить из цифр, воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:

Сколько уникальных чисел можно составить из определённого количества цифр

Сколько чисел можно составить из цифр?
одна из цифр ноль

Количество уникальных чисел:
0
Просто введите количество цифр и получите ответ.

Теория

Сколько уникальных чисел Pn можно составить из n цифр?

Для того чтобы ответить на данный вопрос, воспользуемся числом перестановок из комбинаторики.

Формула

Pn​ = n!

Пример

К примеру, определим, сколько чисел можно составить из 5 цифр.

P5 = 5! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5 = 120

Ответ: Из пяти цифр можно составить 120 разных чисел.

При этом мы используем все 5 цифр в каждом из 120 чисел. То есть все числа пятизначные и каждая цифра в каждом числе используется только один раз.


Если одна из цифр ноль

Если одна из цифр 0, то вышеописанная формула не подходит. Так как первой цифрой в числе ноль быть не может. Следовательно, такие варианты перестановок нужно исключить.

Формула для варианта с нулём
Pn-0 = (n-1)⋅(n-1)!
Пример

К примеру, определим, сколько чисел можно составить из цифр: 0,1,2,3,4.

У нас 5 цифр, одна из которых 0.

P5-0 = (5-1)⋅(5-1)! = 4⋅4! = 4⋅4⋅3⋅2⋅1 = 96

Сколько уникальных X-значных чисел можно составить из определённого количества цифр

Сколько -значных чисел можно составить из цифр?

одна из цифр ноль

Количество уникальных чисел:
0

Теория

Сколько уникальных k-значных чисел можно составить из n цифр?


Если цифры в числе могут повторяться

Если цифры в числе могут повторяться, то для ответа на наш вопрос можно воспользоваться числом размещений с повторениями.

Формула
Āk = nk
n
Пример

К примеру, определим, сколько 2-х значных чисел можно составить из 5 цифр, при том, что цифры в числе могут повторяться.

Ā2 = 52 = 25
5

Из пяти цифр можно составить 25 двухзначных чисел.


Если цифры в числе могут повторяться и одна из цифр ноль

Если среди ряда цифр есть ноль, то формула будет такая:

Формула
Āk = (n-1)⋅nk-1
n-0
Пример

К примеру, определим, сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр: 0,1,2,3,4 (цифры в числе могут повторяться).

Ā3 = (5-1)⋅53-1= 4⋅25 = 100
5-0

Из пяти цифр, одна из которых ноль, можно составить 100 трёхзначных чисел. Цифры при этом могут повторяться.


Если цифры в числе не могут повторяться

Если цифры в числе НЕ могут повторяться, то для ответа на наш вопрос можно воспользоваться количеством размещений без повторений.

Формула
Ak = n!
n(n - k)!
Пример

К примеру, определим, сколько 2-х значных чисел можно составить из 5 цифр, при том, что цифры в числе НЕ могут повторяться.

A2 = 5! = 5! = 4⋅5 = 20
5(5 - 2)!3!

Из пяти цифр можно составить 20 двухзначных чисел без повторений.


Если цифры в числе не могут повторяться и одна из цифр ноль

Если среди ряда цифр есть ноль, то формула будет такая:

Формула
Ak = (n-1)(n-1)!
n-0(n - k)!
Пример

К примеру, определим, сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр: 0,1,2,3,4 (цифры в числе НЕ могут повторяться).

A3 = (5-1)(5-1)! = 44! = 4⋅4⋅3 = 48
5-0(5 - 3)!2!

Из пяти цифр, одна из которых ноль, можно составить 48 трёхзначных чисел, если цифры при этом не могут повторяться.

Задачи и их решения

Задача №1

Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 1 2 3 5 7 9 без повторения цифр?


Для решения этой задачи нужно понимать, что нам важно знать количество цифр, а не какие они. То есть в данном случае цифр 6.

Значит, нам надо определить, сколько шестизначных чисел можно составить из 6 цифр.

A6 = 6! = 6! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6 = 720
6(6 - 6)!1

Ответ: Из цифр 1 2 3 5 7 9 можно составить 720 шестизначных чисел без повторения цифр.


Данный пример можно решить и с помощью формулы числа перестановок, так как и количество цифр в числах, и заданное количество цифр совпадают и равно 6-ти:

P6 = 6! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6 = 720

Задача №2

Сколько различных чисел можно составить из цифр 5, 4, 7 и 0, если цифры в записи числа не повторяются?

Мы имеем 4 различные цифры и одна из них ноль. Число не может начинаться на ноль, значит, воспользуемся числом перестановок и формулой для варианта с нулём:

P4-0 = (4-1)⋅(4-1)! = 3⋅3! = 3⋅3⋅2⋅1 = 18

Ответ: Из цифр 5 4 7 0 можно составить 18 чисел без повторения цифр.


Другой вариант решения:

Нам даны 4 цифры, и в каждом из чисел мы должны использовать каждую из них.

Ноль не может быть первой цифрой в числе. Следовательно, для первой цифры числа мы можем использовать только 5, 4 или 7 - всего три варианта.

Для второй цифры в числе у нас есть тоже 3 варианта, так как одну цифру из четырёх мы уже использовали.

Для третьей осталось два варианта, а для четвёртой только один.

Запишем это так: 3⋅3⋅2⋅1 = 18

Мы получили тот же ответ: 18 вариантов.